Наибольшее и наименьшее значение тригонометрической функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции $z=f(x,y)$ в замкнутой области $D$

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x - первое слагаемое. Тогда (49-x) - второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max

В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции, точек минимума и максимума.

Из теории нам точно пригодится таблица производных и правила дифференцирования . Все это есть в этой табличке:

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения.

Мне удобнее объяснять на конкретном примере. Рассмотрим:

Пример: Найдите наибольшее значение функции y=x^5+20x^3–65x на отрезке [–4;0].

Шаг 1. Берем производную.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Шаг 2. Находим точки экстремума.

Точкой экстремума мы называем такие точки, в которых функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.

Чтобы найти точки экстремума, надо приравнять производную функции к нулю (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Теперь решаем это биквадратное уравнение и найденные корни есть наши точки экстремума.

Я решаю такие уравнения заменой t = x^2, тогда 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Сократим уравнение на 5, получим: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Делаем обратную замену x^2 = t:

X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исключаем, под корнем не может быть отрицательных чисел, если конечно речь не идет о комплексных числах)

Итого: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - это и есть наши точки экстремума.

Шаг 3. Определяем наибольшее и наименьшее значение.

Метод подстановки.

В условии нам был дан отрезок [b][–4;0]. Точка x=1 в этот отрезок не входит. Значит ее мы не рассматриваем. Но помимо точки x=-1 нам также надо рассмотреть левую и правую границу нашего отрезка, то есть точки -4 и 0. Для этого подставляем все эти три точки в исходную функцию. Заметьте исходную - это ту, которая дана в условии (y=x^5+20x^3–65x), некоторые начинают подставлять в производную...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Значит наибольшее значение функции это [b]44 и достигается оно в точки [b]-1, которая называется точкой максимума функции на отрезке [-4; 0].

Мы решили и получили ответ, мы молодцы, можно расслабиться. Но стоп! Вам не кажется, что считать y(-4) как-то слишком сложно? В условиях ограниченного времени лучше воспользоваться другим способом, я называю его так:

Через промежутки знакопостоянства.

Находятся эти промежутки для производной функции, то есть для нашего биквадратного уравнения.

Я делаю это следующим образом. Рисую направленный отрезок. Расставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не смотря на то, что 1 не входит в заданный отрезок, ее все равно следует отметить для того, чтобы корректно определить промежутки знакопостоянства. Возьмем какое-нибудь число во много раз больше 1, допустим 100, мысленно подставим его в наше биквадратное уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.

Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).

Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс , достигается локальный минимум функции . Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) - это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.

На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот .

Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно - обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!

На уроке по теме «Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке» будут рассмотрены относительно простые задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке с помощью производной.

Тема: Производная

Урок: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке .

№ 32.1 (б). Дано: , . Нарисуем график функции (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Известно, что эта функция возрастает на промежутке , значит, она возрастает и на отрезке . А значит, если найти значение функции в точках и , то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает от до 8, функция возрастает от до .

Ответ: ; .

№ 32.2 (а) Дано: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Построим график этой функции (см. рис.2).

Если аргумент меняется на промежутке , то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от , то функция убывает от 2 до 0.

Рис. 2. График функции .

Найдем производную .

, . Если , то и это значение принадлежит заданному отрезку . Если , то . Легко проверить, если принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем

;

Ответ: ;.

Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной - это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.

Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной - мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.

1. Найдем производную . Найдем критические точки , отсюда , - критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках , , . Для этого найдем

Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).

Рис. 3. Пределы изменения значений функции

Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.

Ответ: ;.

Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае - на отрезке.

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.

4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.

Рассмотрим еще один пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции , .

Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).

Рис. 4. График функции .

На промежутке область значения этой функции . Точка - точка максимума. При - функция возрастает, при - функция убывает. Из чертежа видно, что , - не существует.

Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

2. Портал Естественных Наук ().

Сделай дома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.)

И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:

Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.

Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».

Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые ) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:


Эту же область можно задать и линейными неравенствами : , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой .
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие .

А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:

Пример 1

В ограниченной замкнутой области

Решение : прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:

I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных :

Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:

– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.

Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .

Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.

II) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:

1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:

Как вариант, можно оформить и так:

Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится :

– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже) функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже) :

Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:

Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.

Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :

Исследуем второй конец отрезка :

Используя функцию , выполним контрольную проверку:

3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:

Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.

Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:

Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :

Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.

И заключительный шаг : ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .

В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .

Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .

Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.

Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:

– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.

– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!

– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!

– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что

Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:

Пример 4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:

Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)

Решение , как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….

I) Найдём стационарные точки:

Система-мечта идиота:)

Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)

II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:

1) Если , то

Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

Вычислим значения функции на концах отрезка:

2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

Контроль:

Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

Решаем квадратное уравнение , помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:


Вычислим значения функции в найденных точках:

Проверку по функции проведите самостоятельно.

Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ :

Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».

Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!

Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : изобразим область на чертеже:

Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии.

Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом .

Предлагаю решать такие задания следующим образом:

1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.
4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.
5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).

В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать .

Рассмотрим примеры:

77422. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 –3х+4 на отрезке [–2;0].

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.

Вычисляем значения функции в точках –2, –1 и 0:

Наибольшее значение функции равно 6.

Ответ: 6

77425. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 3х 2 + 2 на отрезке .

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.

Вычисляем значения функции в точках 1, 2 и 4:

Наименьшее значение функции равно –2.

Ответ: –2

77426. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 – 6х 2 на отрезке [–3;3].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.

Вычисляем значения функции в точках –3, 0 и 3:

Наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0

77429. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 2х 2 + х +3 на отрезке .

Найдём производную заданной функции:

3х 2 – 4х + 1 = 0

Получим корни: х 1 = 1 х 1 = 1/3.

Указанному в условии интервалу принадлежит только х = 1.

Найдём значения функции в точках 1 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77430. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 + 2х 2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

3х 2 + 4х + 1 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = –1.

Находим значения функции в точках –4, –1, –1/3 и 1:

Получили, что наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77433. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – х 2 – 40х +3 на отрезке .

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

3х 2 – 2х – 40 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = 4.

Находим значения функции в точках 0 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно –109.

Ответ: –109

Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).

77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х 3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от –2 до 2: Посмотреть решение

77434. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 + 2х 2 – 4х + 4 на отрезке [–2;0].

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.