Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями интеграл онлайн. Вычисление площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Итак, систематизируем важные моменты этой задачи
В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.
Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".
Мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G
. Вот полученные формулы:
для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x)
на отрезке
,
для непрерывной и неположительной функции y=f(x)
на отрезке
.
Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.
В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y) , и подробно разберем решение характерных примеров.
Навигация по странице.
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y) .Теорема.
Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке
, причем для любого значения x
из
. Тогда площадь фигуры G
, ограниченной линиями
x=a
, x=b
, и вычисляется по формуле 
.
Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c
, y=d
, и : 
.
Доказательство.
Покажем справедливость формулы для трех случаев:
В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G
и криволинейной трапеции равна площади фигуры . Следовательно,
Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла .
Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:
В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:
Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox .
Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок
на n
частей , где . Фигуру G
можно представить объединением фигур 
. Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как
Следовательно,
Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.
Графическая иллюстрация общего случая.
Таким образом, формула доказана.
Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y) .
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y) .Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: ; и .
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямыми , x=1
, x=4
.
Решение.
Построим эти линии на плоскости.
Всюду на отрезке
график параболы выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница :
Немного усложним пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7
. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.
Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x
и полу параболы . Эту абсциссу найдем из равенства:
Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2 .
Обратите внимание.
В нашем примере и по чертежу видно, что линии и y=x пересекаются в точке (2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.
Очевидно, график функции y=x
расположен выше графика функции на интервале
. Применяем формулу для вычисления площади:
Еще усложним задание.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и 
.
Решение.
Построим график обратной пропорциональности и параболы .
Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения и .
При отличных от нуля значениях x
равенство 
эквивалентно уравнению третьей степени 
с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу чтобы вспомнить алгоритм его решения.
Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: .
Разделив выражение 
на двучлен x-1
, имеем:
Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения 
:
Теперь из чертежа стало видно, что фигура G
заключена выше синей и ниже красной линии на интервале 
. Таким образом, искомая площадь будет равна
Рассмотрим еще один характерный пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и осью абсцисс.
Решение.
Сделаем чертеж.
Это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции 
можно получить из графика отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.
Найдем точки пересечения всех линий.
Ось абсцисс имеет уравнение y=0 .
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения .
Графики функций и y=0
пересекаются в точке (2;0)
, так как x=2
является единственным корнем уравнения 
.
Графики функций и пересекаются в точке (1;1)
, так как x=1
является единственным корнем уравнения 
. Это утверждение не совсем очевидно, но - функция строго возрастающая, а - строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более одного корня.
Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида 
. То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y
, а черной линией .
Определим точки пересечения линий.
Начнем с графиков функций и :
Найдем точку пересечения графиков функций и :
Осталось найти точку пересечения прямых и :
Как видите, значения совпадают.
Подведем итог.
Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:
Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:
Находим: x 1 = -2, x 2 = 4.
Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A (-2; 0), B (4; 6).
Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:
По формуле Ньютона-Лейбница находим:
Найти площадь области, ограниченной эллипсом .
Решение.
Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле получаем
Применим подстановку x = a sin t , dx = a cos t dt . Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin t , a = a sin t . Можно положить α = 0 и β = π /2.
Находим одну четвертую искомой площади
Отсюда S = πab .
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = - x 2 + x + 4 и y = - x + 1.
Решение.
Найдем точки пересечения линий y = -x 2 + x + 4, y = -x + 1, приравнивая ординаты линий: -x 2 + x + 4 = -x + 1 или x 2 - 2x - 3 = 0. Находим корни x 1 = -1, x 2 = 3 и соответствующие им ординаты y 1 = 2, y 2 = -2.
По формуле площади фигуры получаем
Определить площадь, ограниченную параболой y = x 2 + 1 и прямой x + y = 3.
Решение.
Решая систему уравнений
находим абсциссы точек пересечения x 1 = -2 и x 2 = 1.
Полагая y 2 = 3 - x и y 1 = x 2 + 1, на основании формулы получаем
Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r 2 = a 2 cos 2 φ .
Решение.
В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f (φ ) и двумя полярными радиусами φ 1 = ʅ и φ 2 = ʆ , выразится интегралом
В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади
Следовательно, вся площадь равна S = a 2 .
Вычислить длину дуги астроиды x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Решение.
Запишем уравнение астроиды в виде
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Положим x 1/3 = a 1/3 cos t , y 1/3 = a 1/3 sin t .
Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды
x = a cos 3 t , y = a sin 3 t , (*)
где 0 ≤ t ≤ 2π .
Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L , соответствующую изменению параметра t от 0 до π /2.
Получаем
dx = -3a cos 2 t sin t dt , dy = 3a sin 2 t cos t dt .
Отсюда находим
Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π /2, получаем
Отсюда L = 6a .
Найти площадь, ограниченную спиралью Архимеда r = aφ и двумя радиусами-векторами, которые соответствуют полярным углам φ 1 и φ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Решение.
Площадь, ограниченная кривой r = f (φ ) вычисляется по формуле , где α и β - пределы изменения полярного угла.
Таким образом, получаем
(*)
Из (*) следует, что площадь, ограниченная полярной осью и первым витком спирали Архимеда (φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Аналогичным образом находим площадь, ограниченную полярной осью и вторым витком спирали Архимеда (φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Искомая площадь равна разности этих площадей
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x 2 и x = y 2 .
Решение.
Решим систему уравнений
и получим x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, откуда точки пересечения кривых O (0; 0), B (1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA :
Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках: а) ; б) .
Решение.
а) На отрезке функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x , находим
б) На отрезке , функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок разделить на два и [π , 2π ], в каждом из которых функция сохраняет знак.
По правилу знаков, на отрезке [π , 2π ] площадь берется со знаком минус.
В итоге, искомая площадь равна
Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг большой оси a .
Решение.
Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Ox площади OAB , равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.
Обозначим объем тела вращения через V x ; тогда на основании формулы имеем , где 0 и a - абсциссы точек B и A . Из уравнения эллипса находим . Отсюда
Таким образом, искомый объем равен . (При вращении эллипса вокруг малой оси b , объем тела равен )
Найти площадь, ограниченную параболами y 2 = 2 px и x 2 = 2 py .
Решение.
Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем и . Приравнивая эти значения, получим или x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x (x 3 - 8p 3) = x (x - 2p )(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Находим корни уравнений:
Учитывая то факт, что точка A пересечения парабол находится в первой четверти, то пределы интегрирования x = 0 и x = 2p .
Искомую площадь находим по формуле
На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур , которые называются криволинейными трапециями .
Примеры таких фигур - на рисунке ниже.
С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу - ось абсцисс (Ox ), а слева и справа - некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).
Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:
Отдельно ещё о некоторых нюансах .
Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f (x ) .
Значения "икса" должны принадлежать отрезку [a , b ] . То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.
Боковые отрезки могут вырождаться в точки . Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси "иксов". А значит с пределами интегрирования всё в порядке.
Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
Если же f (x ) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox ), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f (x ) и y = φ (x ) , то площадь такой фигуры вычисляется по формуле
. (3)
Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).
Пример 1. Ox ) и прямыми x = 1 , x = 3 .
Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке , то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс (Ox ).
Решение. Результат применения формулы (1):
Если то s = 1/2 ; если то s = 1/3 , и т.д.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox ) и прямой x = 4 .
Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:
.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC . При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A , а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox ). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A ) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D ). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:
Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB , если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.
Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):
.
Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс (Ox ).
Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы и точек пересечения параболы с осью Ox . Следовательно,
Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox ) и двумя соседними волнами синусоиды.
Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):
.
Найдём отдельно каждое слагаемое:
.
.
Окончательно находим площадь:
.
Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .
Решение. Выразим уравнения линий через игрек:
Площадь по формуле (2) получим как
,
где a и b - абсциссы точек A и B . Найдём их, решая совместно уравнения:
Окончательно находим площадь:
И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).
Пример 9.
Найти площадь фигуры, заключённой между параболами
и
.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле
Пример 9.
Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
и осью .
Решение
. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: 
, откуда , ; следовательно, , .
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (6)
В случае, если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .
Рис. 5
Решение
. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим , . Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x , а в качестве – . Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.); 
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
|
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 12), определяется по формуле
. (10)
|
Рис. 12
Пример 14 . Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2 = 4у , у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение . В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:
Рис. 13
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
. (11)
Пример 15
. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых 
.
Решение
. Из условия задачи имеем 
. По формуле (11) получаем:
.
4. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла предполага-лось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и являются конечными;
б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным .
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала . Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
;г) 
= [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = 
[замена:
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .
